PN结仿真实例：半导体漂移扩散Drift-Diffusion
我们知道，导电的是载流子，包括空洞和电子。PN结中的P和N都是半导体材料，比如硅或锗，区别是用了不同的原子掺杂（doping）。若不掺杂，半导体硅本身的空洞或电子浓度就叫本征载流子浓度（intrinsiccarrier concentration），用Ni表示，与温度强相关；比如300开尔文的硅Ni约为10e9cm^-3，空洞和电子都是这个浓度，因为没有掺杂。掺杂多空洞载流子，硅便成了P类硅（P-type），掺杂多电子载流子，硅便成了N类硅（N-type）。P-type是受体acceptor，N-type是施体donor，所以N-type会贡献多余的电子给P-type，直到电势平衡，不再有载流子流动，这个过程就叫做扩散（diffusion）。当半导体中的载流子分布处于不平衡时，漂移扩散就会发生。比如半导体两端有电势差，或者半导体一部分有光照产生了多余载流子，都是载流子分布不平衡；
本案例中，P-type的掺杂密度为 NA=1e16 cm^-3, N-type的掺杂密度为ND=1e18cm^-3, 硅Ni=1e10cm^-3，有了这些输入值，加上室温热电压常数Vth=0.026mV，我们就可以手动计算出PN结中的内置电位（builtin potential）：
漂移扩散求解器简称DD-solver，是低频工作室中求解器之一：
模型很简单，两个方块，都是硅材料，长度为0.4um和0.1um，XY方向较小，模拟一维结构。
特别的是，针对DD求解器，硅材料的设置中多了半导体相关的参数：
所以DD求解器需要材料中多明确本征载流子密度、载流子迁移率和载流子有效质量，这三大半导体材料参数。
其中，本征载流子密度容易理解，就是硅的特性；载流子迁移率乘以电场能获得漂移速度；
载流子有效质量是相对于自由电子的质量，一般都在范围0.01-10；可能有人问了，怎么空穴和电子的质量还能比电子小呢？这个就是固体物理的范畴了，需要具体的能级曲线分析，这里就不详细说了。
总之这些设置的值在很多文献或课本中都能找到。
具体的半导体掺杂则需要在Doping Density处设置：
P-type正掺杂：
N-type负掺杂：
两边用PEC添加固定电势，N-type一边是0电势的地，P-type一边是参数化的电压偏置，所以Voltage为正就是正向偏置，PN结导通；Voltage为负就是逆向偏置，PN结不通：
本地网格加密，N-type更密一些，因为他的掺杂是P-type的100倍，德拜长度就是P-type的1/10；德拜长度计算：
LD(donor)= sqrt(11.9*8.854e-12*1.3806e-23*300/1.6^2e-38/1e18/1e6) =4nm
LD(acceptor) = 40nm
所以大概一个德拜长度一个网格：
边界条件：
我们先用Voltage=0，也就是无外界偏置电压仿真，此时内置电压等于势垒电压。
仿真结束后，很多结果自动得到：
比如我们先查看载流子密度，两端最大值就是我们之前设置的掺杂密度；中间有耗尽区生成，所以P-type这边明显耗尽层较大，因为本案例P掺杂较少，这也是为什么我们画P长过N。实际中二极管往往P-type要短一些，和掺杂浓度有关。
若看参杂密度，则是设置的定值：
电场分布：
电势分布：
等离子频率：
我们用后处理提取中轴线上的电场、电势、电子密度、空穴密度：
这里从这些曲线其实就能看出耗尽层的大概厚度了。还有三个后处理，其中两个是提取电势的最大值和最小值计算壁垒电势差；第三个是个mix template，用电势差加上外接电压voltage得到内置电位（built in potential）。
和我们之前手动计算的一致：
下面我们看看正向偏置电压，voltage=0.4V，重新仿真，对比电场和电势，符合理论预期：
我们加个标尺大概量一下耗尽层约长0.25um:
可用公式验证一下：
Width=sqrt(2*11.9*8.854e-12*(1e22+1e24)/1.602/1e^-19/1e22/1e24*0.43) =0.24um
有了偏置电压，空穴和电子的准费米能级也不同了：
最后，我们扫参voltage，在0点附近多一些采样：
看内置电压，一直都是恒定0.83V，直到外界电压超过内置电压，大到把耗尽区完全压缩，PN结成了电压源。
查看I-V曲线，注意这里没有正负之分，方向可查看场图：
正向偏置的电流：
反向偏置的电流：
小结：
1. DD求解器是漂移扩散求解器，第一个D是drift漂移，计算施加电场下载流子定向运动；第二个D是diffusion扩散，计算载流子浓度变化效果。
2. CST可以用来分析半导体材料的导电特性，比如设计二极管。
