超材料光子晶体CST仿真 - 60度周期布里渊区与布洛赫定理
之前写过二维光子晶体的案例：超材料光子晶体和禁带分析实例，其周期为正方形
这期我们还以二维光子晶体为例，看一下六边形周期结构的色散图仿真，以及多重模式下利用布洛赫定理进行模式挑选。
第一部分：建模和仿真设置
首先推荐使用色散图模板，频率范围设0-250THz。
定义周期结构尺寸参数：
建模：
再画个方型区域作为单元晶胞，用圆柱Trim。
复制周期单元，剪切，只保留方形区域内单元：
求解器设置：
提高求解器精度和速度：
手动加密网格：
先添加后处理方便后处理：
六边形不可约布里渊区：
Γ→M: phaseX=0; phaseY=0~360
M→K: phaseX=0~120;phaseY=360
K→Γ: phaseX = 120~0;phaseY=360~0
所以修改phaseX和phaseY的定义式：
参数扫描开始：
第二部分：布洛赫定理验证
由于相位计算k的结果是非唯一解，所以该结果中会有出现多个Mode表示一个TM模的混乱情况。我们将通过后处理，手动验证真正的TM模是哪些。
根据布洛赫定理，本征模需要满足下式：
其中e是晶格周期函数，E是本征模，所以，反用公式可得周期函数表达式：
具体方法就是，在三维结构中，我们定义两个圆曲线，相对位置为晶格矢量，然后分别计算曲线上的Z电场（TM模）或Z磁场（TE模），然后与相位因子exp相乘，作为满足晶格周期函数的本征模电场，再和之前计算出的15个Mode相比较，选出符合布洛赫定理的Mode。
由于场数据存在采样误差或其他误差，我们不能期望提取的函数表达式完全准确（也没必要），所以可用统计学中的变异系数（Coefficient of variation），比如设个阙值0.05，小过这个值我们就认为两组数据相同。相同的区域就保留Mode曲线，不相同就是不符合布洛赫定理的无效Mode曲线。
WCS放到角上，厚度中心，以该点为参考，定义两个WCS的坐标，方便我们计算晶格矢量。
将WCS移到第一个点，储存为wcs1，画个圆半径0.2，所以该圆是以u轴开始的逆时针方向。
再将WCS对齐到第二个点（可用pick point from coordinates，需还原WCS到参考点）, 储存为wcs2，画个圆，注意要分开成第二组曲线。
有了两个Curve之后，后处理分别对两个Curve提取Z方向每个模式的电场：
由于参数扫描并没有记录全部的电场，这里可能需要重新参数扫描。结果如下：
圆曲线的长度定义是从X+方向为0，逆时针转的。不确定的话可以对比三维的场强变化来确认长度定义。
下面将电场与反向平面波相位因子相乘，得到curve1的周期函数表达式：
公式用到的向量关系如下：
分别计算两个curve上的周期函数表达式：
这个MixTemplate可以不用重新参数扫描，结果如下：
然后curve1的周期式减去curve2 的周期式得到误差值：
由于数据都是离散采样点，所以要用Stochastic的方法计算标准差：这里取实部就可以了，因为我们最后只需要一组实数来做决定，通过或不通过之前计算的这些Mode值而已。并且，这里如果选Mag, 并不能给我们有效的信息，因为相同的Mag，也可以是不同的实部虚部。
所以在这一步，数据类型正式从电场复数变成实数（1DC变0D）。
标准差值如下，其实这里就可以看出一些我们想要的结果了，就是近乎0值的这些区域说明就是满足周期函数。
为了得到通过或不通过这样的二进制数据，我们用标准差除以curve1的幅度平均值，得到变异系数：
选取变异系数小于0.05的参数PathPara为1，其他为0：
将结果与之前的色散图相乘，获得新的色散图：
调整曲线为相同的点：
可将Y轴归一化，晶格周期是1um：
全部的后处理：
将新旧色散图放一起，可见真正的TM模式被标注出来：
结果与文献中的TM模式一致：
参考文献：
J.D. Joannopoulos, “Photonic Crystals:Molding the Flow of Light”, Chap. 5
小结：
1） 文中的模式式TM，如果要看TE，边界要改成Magnetic，curve上要看Z磁场。完整的能级分析需要TE和TM。
2) 可能有人好奇，为什么要看圆型curve呢？其他curve行不行？我觉得理论上可以，不过圆形上的点坐标容易写，sin和cos就行，圈定的区域也比较有代表性。
3) 本文还用了一些统计学的手段，研究两组数据的重叠情况。
4） 60度角的晶格需要我们调整布里渊区，就是CST中的ParaPath参数定义式，文中是90度的XY，以后我们会写关于60度的XY以及更容易获得布洛赫模的方法。
5) 手动验证布洛赫定理公式成功~ 手动虽复杂，但是可以学的更多~
