濾波器帶通轉換疑問

大家好 小弟有問題互相討論一下！
這邊想跟大家討論個基礎的filter transformation問題！
我們都知道 利用g值表就可以設計出在normalized frequency下的濾波器響應
也就是截止頻在此狀況下為-1/1,然後經由 lowpass highpass transformation，
利用公式 lowpass:
              w ← w/wc
               highpass:
              w ← -wc/w
就能轉到我們想要設計的實頻率(real frequency)位置，公式的概念就是頻帶縮放而已，
但現在我的問題是 bandpass transformation的公式，
我們可以從書上得知是經過 w← (w0/(w2-w1))*(w/w0-w0/w) 這樣的算式來做轉換，
但我很想知道這個公式得到的流程大底是怎樣? 我知道可以將-1轉到w1，1轉到w2，
這經由式子帶入w0=sqrt(w1w2) , w1, w2 就可以得到沒錯，但我想知道的是，
怎麼可以憑空生出一個將 normalized lowpass 轉到 real band pass domain的公式，
但其實認真去看公式，在normalized domain 其實對於0頻率和-1/1兩個截止頻是算數平均，
但到了帶通轉換後，中心頻w0卻變成了幾何平均sqrt(w1*w2)，想要修正成算數平均，也就是w0=(w2+w1)/2
所以才想深入了解低通轉帶通傳統公式的由來，
因為一般來說大家就都使用而已，很少去探討他到底是怎樣推算出這個公式的，
在文獻上的搜尋也很難找到，不知道各位先進可否給點提示?
謝謝各位！

簡單闡述問題一下！
就是傳統低通轉到帶通的中心頻率w0 都是幾何平均sqrt(w1w2) (w1 w2 為帶通band edge)
想要把w0修正成算術平均(w2+w1)/2，所以想知道傳統公式怎麼推出來的，
或先進們知道該用哪些角度下去想，不是要直接求答案，
希望有人可以開導，引領個方向！  謝謝各位！