Lilihood function in AWGN channel

y = x + n; x=+1 or -1; n is a gaussian r.v.
likelihood function : f(y|X=1 or -1) -> conditional pdf in AWGN...
假如我们想知道在y=y'的机率时，应该是要对f作积分，范围从-inf~y'
但是为什么一般在解码的时候，可以直接将y'带入上述的pdf
然后视作通道转态机率？(或称作当传送是x，收到是y'的机率)
是因为上述积分-inf~y'可以近似于直接将y'带入取值吗？（似乎没这个近似阿）
主要是作MAP Deocding的时候，p(x|y) = p(y|x)*p(x)/p(y)
此式中的p(y|x)是个机率，而f(y|x)是个条件机率密度函数
但大多的书上都会将后者直接带入前者...百思不解！
烦请了解的人解答一下疑惑～

我没懂 原作者在问什么问题呢？
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连续随机变量的问题，我看proakis的chapter5最佳接收机这章时看到了这个map准则
刚从那个兄弟已经给你回答了啊

一般都是用得对数似然比
L(X)=log(P(y|X=1)/P(y|X=0))
AWGN下面，令噪声为Z，则Y=X+Z
P(y|X=1)=Pz(Z=y-1)=fz(y-1)*dz
P(y|X=1)=Pz(Z=y+1)=fz(y+1)*dz
不严格的，可以理解为dz和dz约掉

我忘记具体过程了，有本印度人出的书没有在身边，上面好像有讲，明天我看看能给你
发上来不。好像也不是特别的详尽

是不是因为被积函数的大小和积分后函数的大小关系一致啊?
如果作硬判决的话.

Y=X+V，因为X是离散分布（X=+1 or -1），而V是连续分布，所以Y是连续分布。
因为Y是连续分布，所以P[Y=y]=0，而且条件概率P[Y=y|X]=0。
虽然MAP的定义式是P[X=x|Y=y]=P[Y=y|X=x]*P[X=x]/P[Y=y]，但是如果把以上的结果直接代入的话，我们会得到P[X=x|Y=y]=0*P[X=x]/0，其值无法定义。
所以我们就用在Y=y处的概率密度f(y)和f(y|x)（不妨假设f(y|x)不为0）来代替P[Y=y]和P[Y=y|X=x]，来计算P[X=x|Y=y]——这就是一个概念上的解释。
至于这种做法的正确性，可以参考看那个粗略的证明。
如果这么写还是无法让您看懂，那我就完全被你打败了。

真的很感谢您的回答，我大致上了解了....
我这个心中的疑惑终于被解答了...=.=
很抱歉让你花了这么大的心思...^^"""
我想请问一下这样的理解是否可行...
p(X=x|y) = p(y|X=x)*p(X=x)/p(y)
         = (f(y|X=x)*dy)*p(X=x)/(f(y)*dy)
         = f(y|X=x)*p(X=x)/f(y)
p(.) is probability, f(.) is pdf....

Hi...如果可以的话，请发一份给我看看噜...
我算是作演算法的，可是目前刚入门没多久...:)
多多交流罗！

Yes, you can think of it that way--and it is what I did in the previous post.
But it is just a rough argument for your comprehension--not a strict proof.
Anyway, I think for engineering guys, that's enough.

you right! The thing I learned is
Probability(y)=pdf(y)*delta(y)
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MAP decoding 就是Bayes原理在decoding上的应用呀
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I think you give us perfect insightful.Thanks
Also from"所以我们就用在Y=y处的概率密度f(y)和f(y|x)（不妨假设f(y|x)不为0）来代替P[Y=y]和P[Y=y|X=x]，来计算P[X=x|Y=y]——这就是一个概念上的解释。"
Using "f(y)和f(y|x)" to approximate "P[Y=y]和P[Y=y|X=x]" like a Taylor series expansion to get a higher order derivative.
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L'Hospital's Rule:
if lim f(x)=lim g(x) = 0 or + - infinity
then
lim f(x)/g(x)=lim f'(x)/g'(x)
相当于 Taylor 1阶 expansion呀
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查了下书:
proakis《数字通信》第四版P.242公式5.1-38
P(s_m|r)=f(r|s_m)P(s_m)/f(r)                   （1）
这个公式是可以推导的，见P.26公式2.1-32
P(X_1<=x_1|X_2=x_2)=\int_{-\inf}^{x_1}p(u_1,x_2)du_1/p(x_2)    （2）
很显然f(r,s_m)=f(r|s_m)f(s_m),所以(1)式成立.

MAP的定义当然不是那个了，我是就着原帖随便说的，抱歉。