问个OFDM的问题

 OFDM_副本.pdf

没看出什么不同，图一就是DFT的原理图啊，只不过是在连续域。

M点DFT是对M点的离散时间信号的一种变换，图1是完全在时间连续域而言的，和DFT扯不
上啥关系吧。
只有对连续时间信号采样后才可以对采样序列进行DFT操作吧。
OFDM本来早就发明了，其接收机如图1所示，只不过比较难于实现，但后来有人发现DFT
可以简化OFDM的实现，所以OFDM就实用化了。
你想想，面对图1，你怎么能想到用DFT来实现图1，不就是将积分近似为求和吗？我现在
问题的焦点是采用DFT来实现图1是否会存在误差而已，通常而言，使用求和代替积分会
存在误差的。
谢谢您的回复！

问题是这样的，图1中的积分，前半部分是信号在连续时域的积分，后面经过采样后就变
成数字域的离散信号了，你首先要保证每条分支的f(t)都是正交的，而且都是正余弦函
数，其w必须是2×pi的N等份，这样才是对OFDM信号的正确解调，采样后和离散域的DFT
是一样的。
你要是说误差什么的，数字处理肯定会有的，这个和你的采样位宽有关系，也就是采样
后的样值用几个比特去表示。在实现的时候离散域的DFT也是一样的。

谢谢回复，您提到的误差只是量化误差而已，这和AD变化的位数相关。我现在关注的是
图1的积分近似为求和（即DFT)的误差问题，如何证明采样后做DFT之结果和图1中的N个
模拟积分器的输出采样值r1-rN相等，即积分近似为求和后其误差为零？

图1是可以实现的啊，只不过实现代价很高而已。所以才有了用DFT来实现图1的想法，也
正是因为此，OFDM才实用化了。
DFT的实现方式的确是先采样后再做DFT的，这个我知道的。
我问题的焦点是DFT实现方式和图1的实现是否会存在理论上的性能差别。
你说的同步问题和我问的问题是无关的，我图1中显然已经隐含了同步是理想的了，至于
均衡算法，采
用最优的最大似然检测来检测每个子载波上的未知数据好了。
感觉你没太仔细读我的帖子，回答也总是在周边绕啊绕，你说的这些与我的原问题毫无
关系，建议你再看一下我原来的帖子，搞清楚我的问题后再作答，谢谢！

那我就想请教一下，图1中这么多的并行积分电路你去如何实现呢？现在又有哪个领域在
探讨这么个问题，探讨这个做什么用？

你这就是往远里扯了，积分电话可以使用运放加电容电阻实现啊。
图1的最大作用就是这是OFDM的接收原理图，这是OFDM原理的鼻祖,如果没有这个图，也
没人会想到使用DFT去近似实现OFDM接收机。
图1完全是依据N元正交信号空间理论画出的最佳接收处理图，我们探讨的焦点是使用DF
T实现图1时时在理论上有没有存在误差，而不是能不能实现的问题。
有用没用看咋说了，按你这么说的话，计算机中永远无法表示sqrt(2）,那我们只研究计
算机能表示的数就可以了。
这话并不是抬杠，只是想把你的思路拉回到关注我原来问题本身，而不是跑偏了，谢谢
！

我也没有抬杠的意思，首先实现的话，你想想，N=1024得用多少个并行的电阻电容，需
要的电路板会是个啥样，成本也会很高，这肯定是不现实的，也实现不了。
你现在非要考虑误差，这就不是dft的问题了，积分和离散求和近似是本科高数里有这一
章，是数学上的问题。
但是我觉着现在DFT这么成熟，没有多大必要去纠结到这点。也很少有人去纠结这点

哦，那你和我的观点一样，使用DFT来代替图1会必然会造成性能上的下降，只不过可以
加大过采样因子来让这个性能下降无限变小；
积分和离散求和近似通常会存在误差，但被积函数形式很特殊的话，不会存在误差。

    要知道，被积分的每个子载波函数恰好是你提到的特殊函数，它们都是星座点值与
正弦波的乘积，且同步后每个子载波上的正弦波恰好被采样整数个周期。
    因此对于OFDM调制，用求和代替积分是没有误差的。
    同样的问题和分析对于单载波匹配滤波也是存在的，也是用求和代替积分，只不过
求和前先乘以匹配滤波系数。

谢谢回复，我还是没有搞明白您的意思，您能不能就您给出的结论给出个数学推导呢？
也就说是说，从我图1的积分中，您怎么能将该积分转化为一个求和而不使用矩形积分近
似公式，给一两步推导提示下我就行了，谢谢！
注意，我图1中的接收信号和各个子载波的乘积的定积分中，接收信号中是含有噪声的。

    已经有了接收到的OFDM信号数学表达式（你的PDF中公式1）和最佳接收机（图1），
为什么不直接将图1中每条支路的积分算一下，毕竟是一个很简单的积分。将积分值和离
散求和值对比一下，看看有什么差异。
    同理将噪声项分别作连续域的积分和离散域的求和，看之间有什么差异。
    最重要的，对比连续域积分输出信噪比和离散域求和输出的信噪比，看是否有误差
。

谢谢回复，按照您的做法，分别算积分和求和，再比较，那好：
先算积分：
算积分很好算，不存在啥困难，图1中每一个积分器之结果为信号+噪声两部分，其中噪
声部分是个高斯变量，可以很容易算出其方差。
再算求和：
用求和方式分别算信号和噪声分量时，信号分量好算，但噪声分量的计算会遇到困难了
，我的pdf文件的(1)式中w(t)是个高斯白噪声，其在时域的采样值从理论上讲是个均值
为零，方差为无穷大的高斯变量(高斯白噪声理论上的平均功率是无限大的！），对方差
无穷大的N个i.i.d的高斯变量之线性组合，我如何计算其均值和方差，算出来也是个无
穷大的高斯变量？
那一个无穷大的值怎么和一个有限值来相比啊?

实际应用时，接收端必须有信道滤波器，带内增益为1、带外增益为0。噪声经过这样一
个滤波器后是一个带限的随机过程，噪声功率（方差）等于N0*B，其中B为有效信号带宽
（即信道滤波器带宽），N0为噪声的功率谱密度。

哦，那您提到的B应该取为多少啊？应该
使得通过积分方法算出的的噪声方差和通过求和方法求出的噪声方差相当
来计算B吗？
这还是有近似技术在里面起作用吧，还是不能由积分形式严格推出求和(DFT)形式吧？
试想，如果没啥特殊限制，积分能很容易化为求和吗，肯定有误差存在的吧

对于你关心的问题，B取多少都无所谓，关键是噪声功率Pn，而且这个噪声是带限的。
积分得到的噪声能量为T·Pn；求和得到的噪声功率为N·Pn，其中N为求和的点数。
一般来说，连续信号的积分与离散信号的求完全等效是不成立的，完全的等效需要一些
前提条件，例如信号带宽、采样率、积分的时间长度（即求和的点数）等。
据我的认识而言，用DFT来实现OFDM的调制与解调这一方法并不是从“离散求和与连续积
分无误差”这个假设推导出来的。

首先修正一下我原帖pdf文件中的一个错误，在(2)式等号右端的信号项中缺了一个系数
T，即B[k]前面应该加个T.
再来向您请教， 您告诉我的做法如下，您看我叙述的对不对，总感觉我理解的和您回复
的有偏差。
您的建议是分别算一下积分和求和的信号分量的值和噪声分量的方差，并关注一下各自
的信噪比，是这个意思吗？
首先，积分情形时信号分量和噪声分量已经如我pdf文件的（2）式等号右边所示了。
求和方法时，您的意思是先将(1)式所示的信号通过一个带宽为B的理想低通滤波器，带
宽B待定，然后对该低通滤波器的输出以采样时间间隔T/N进行采样可得N点长序列x,再对
x做N点DFT，则DFT结果的第k个分量的信号部分和噪声部分就算出来了。
最后对DFT结果的第k个分量的信号部分和噪声部分
分别和
积分情形时的信号部分和噪声部分进行比对，
您的上述思路我理解正确吗？
说说我在用这个方法计算时的一些困惑：
1. 如何来定接收滤波器的带宽B？
2. 规定了B之后，(1)式中的信号分量会全部无失真的通过这个接收滤波器吗？
3. 您回复中提到的噪声功率Pn应该如何计算？

顺便说一下，顺着您的思路，我算了一下，如果取接收滤波器为双边带宽B为
N/T
时，假定(1)式的信号分量无失真通过该接收滤波器的话，那积分方法和DFT方法所得结
果的信号分量数值是相同的，噪声分量的方差也是相等的。

您提到
用DFT来实现OFDM的调制与解调这一方法并不是从“离散求和与连续积
分无误差”这个假设推导出来的
那是怎么想到用DFT来实现OFDM的啊，分享一下这个发明人的当初想法吧，谢谢！

我解释不了那么系统和精准，可找片讲OFDM原理的书看一下，例如http://www.doc88.c
om/p-11767187555.html
我看完后的体会：
（1）出发点是OFDM连续时间的表达式；
（2）根据乃奎斯特采样定理，以子载波间隔的倒数为采样频率对对连续的OFDM信号进行
采样不会损失任何信息；
（3）采样后的离散信号具有与IDFT相同的表达式；
（4）于是调制过程就成了：可用IDFT生成离散形式的OFDM信号，DAC滤波后就得到连续
时间的OFDM信号；
（5）发送端可以用IDFT实现，那接收端使用DFT就是很自然的想法；
（6）需要证明DFT的实现与连续积分实现的信噪比性能完全相同（不是证明连续积分与
离散求和等效）——这一点是你关心的，但文献没有提及的，你可以继续做完证明。

谢谢回复！
您列举的第(2)点中提到了乃奎斯特采样定理，这点会存在问题吧，连续时间信号本身不
是严格带限的，就没法使用采样定理吧，所以这个发送端采用DFT本身就是一个近似吧？
实际中好像要采用过采样技术才能使得这个近似误差足够小，所以你这里给的采样间隔
太大了。
另外，你提到的第（4）点中使用DAC来进行序列到连续波形的转换，如果是严格的采样
定理的话，应该使用sinc脉冲进行时域插值吧，这里DAC只是个零阶保持而已，所以OFD
M使用DFT技术来简化发送信号的产生本身就是个近似吧？
就是说DAC出来的信号与连续时间OFDM的期望发射信号是存在误差的吧。

连续信号为什么就不是带限的，正弦波的带宽就接近无穷小。
OFDM信号本身确实不是严格带限制的，那是因为OFDM符号之间不连续所导致，或每个子
载波上被调制信号是方波，或每个子载波在频谱上是sinc函数。
假设时间连续的OFDM信号有K（例如1000）个子载波，子载波间隔为wc，当采样率为wc*
N时，得到的离散信号就具有DFT形式的表达式。当N足够大时，这个采样就能满足无信息
损失。实际应用中，为了降低实现代价，N一般取略大于k的2的幂值。例如1024。这种情
况下，离散信号与连续信号确实不能完全等效，或者说有误差。需要注意的是，k=1000
时，N并不是只能取值1024，取值2048或4096等值也是可以的。
但话又说回来，正因为理想的连续的OFDM信号不是严格带限的，实际应用中不会直接传
输这个信号做通信，而是会对它加滤波器，以限制带外能量。这个滤波后信号与理想OF
DM信号之间也是有误差的。
用DAC将离散信号转换成连续时间过程中，一般会在DAC前加1/sinc滤波，以补偿DAC的s
inc效应——之前的回复之所以没提这点，是不想在讨论一个问题的时候又牵出另外一个
问题，我假设你是完全清楚或完全不知道的，所以不提。补偿sinc效应后的DAC（后面还
有连续域的低通滤波）就是理想的，与信号本身是否为OFDM无关。

谢谢回复，您回复的很详细，但我看就两个重点，使用dft方法来实现图1中的连续ofdm是存在误差的，但可以通过过采样技术来减少该误差，这也正是我原帖的看法，只不过不太确信，想证实下。，